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Archive for the ‘Matematica’ Category

Cos’è lo spazio?

Una eccellente e divertente introduzione alla topologia, in cartoni animati.

Sul canale YouTube:

WhyU

e sul sito web:

whyu.org

si trovano anche bellissimi corsi di Pre-Algebra, di Algebra, e una lezione sulle Serie Infinite.

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Interessante intervento di Conrad Wolfram, responsabile del software Mathematica in Europa, sull’uso del computer per l’apprendimento della matematica. L’idea è molto semplice e può essere riassunta nel titolo che ho dato al questo post. Perché perdere tempo in calcoli noiosi, come una lunga espressione algebrica, una derivata, un integrale? Tutte queste operazioni di calcolo simbolico possono essere eseguite da un programma, esattamente come una calcolatrice può eseguire calcoli lunghi e noiosi. Perché invece non concentrarci sulle idee che stanno alla base della matematica e sulle sue applicazioni?

Devo dire che sono solo parzialmente d’accordo con questo punto di vista. La ragione è che nel calcolo simbolico spesso vi sono passaggi interessanti e fruttuosi, che risulterebbero nascosti in un calcolo di tipo “meccanico”. Però nella sostanza sono d’accordo. Se ho di fronte un calcolo “meccanico”, meglio farlo fare a un calcolatore e dedicarmi a cose più divertenti, come riflettere su una idea o dimostrare un teorema.

La cosa che critico di questo intervento è il fatto che si basa sull’utilizzo del software Mathematica, che non è né gratuito, né open source. La conoscenza, invece, dovrebbe essere gratuita e condivisa.

Un software open source e gratuito per il calcolo simbolico è SAGE.

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Un infinito numero

Un infinito numero

Questo è il post che vi avevo promesso. Sullo sfondo compaiono alcune cifre, e sono già parecchie, del numero pi greco: 3,14159265358979323846 26433832795028841971…le cifre di pi greco sono però infinite, e non possono certo essere racchiuse in questa figura. Il testo, tradotto in italiano suona più o meno così:

Pi, se espresso in notazione decimale (anche in base due sarebbe lo stesso) è un numero infinito e senza ripetizioni. Questo significa che ogni sequenza di cifre esiste da qualche parte in pi greco. Se converto le cifre in lettere (posso facilmente associare una lettere a una coppia di cifre) da qualche parte in quell’infinita stringa di caratteri troverai il nome di ogni persona che hai amato…ecc…

[…]

OGNI COSA è contenuta nel rapporto tra circonferenza e diametro.

Ogni cosa…certamente tutto il nostro codice genetico o tutti i libri che sono stati scritti, ma sul fatto che racchiuda proprio ogni cosa non si può essere sicuri. Se l’Universo ha una struttura discreta, cioè è numerabile, certamente si, ogni cosa è contenuta nelle cifre del pi greco. Se invece l’Universo non ha una struttura discreta, questa affermazione non è vera.

In sostanza non tutti gli insiemi sono numerabili (ossia i suoi elementi si possono contare, o, in altri termini possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali). Per approfondire rimando alla pagina di Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_non_numerabile

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Portale di corsi gratuiti on line

Basta cercare un argomento su YouTube e si troveranno diversi video con lezioni on-line, spesso in inglese. Trovare lezioni in italiano è un po’ più difficile. Per questa ragione segnalo questo sito, che mi sembra ben fatto. Il sito si basa su lezioni che vari docenti mettono gratis on-line, un modello di cultura aperta simile a quello di Wikipedia.

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E’ un po’ di tempo che trascuro il mio blog, e, visto che quasi 900 persone l’hanno visitato, direi che è giusto il momento di scrivere qualcosa.

Internet offre talmente tante cose che a volte si rischia di perderei nel mare dell’informazione e delle esternazioni della umanità varia che vive nella rete… Ecco quindi che quando nel mio surfing quotidiano nella rete scovo qualcosa di interessante ho deciso di annotarlo sul mio blog! Ovviamente senza pretesa alcuna di essere esaustivo, ci mancherebbe. Tipicamente per caso, visitando un qualche sito o leggendo un articolo, trovo un link che attiva qualche neurone del mio cervello, che a sua volta ne richiama altri (di neuroni e di link), e così via…insomma, in molti casi il tutto si risolve una autentica perdita di tempo, in altri in una esperienza intellettuale entusiasmante. A proposito di esperienze intellettuali entusiasmanti, ecco qui qualche link sulla quarta dimensione:

  • Partiamo dal un postale che mette insieme diverse immagini matematiche interessanti
  • Tra queste immagini, ne troviamo una che ha a che fare con la quarta dimensione: una proiezione nello spazio tridimensionale (3D) di un ipercubo (4D)
  • Nel link che vi ho dato, oltre all’ipercubo ci sono altre proiezioni in 3D di oggetti geometrici che “vivono” nello spazio a quattro dimensioni. L’autore delle splendide animazioni che vi ho mostrato si chiama Jason Hise, e questo è il suo sito web (assolutamente da visitare!);
  • E per finire, c’è anche una applicazione per iPhone-iPad-iPod, che permette di vivere una esperienza reale della quarta dimensione attraverso la proiezione interattiva di un ipercubo nello spazio tridimensionale.

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Concetti di base su vettori e tensori sono spiegati in modo chiaro in questa lezione di Dan Fleisch

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E’ facile intuire che per due punti A e B del piano passa una e una sola retta:


Per dimostrarlo in maniera semplice ci viene in aiuto la geometria analitica. L’equazione di una retta in forma esplicita è:

Se imponiamo il passaggio per due punti del piano cartesiano di coordinate (x1, y1) e (x2, y2) otteniamo il sistema di due equazioni nelle variabili m e q:

Notiamo che il nostro problema consiste nel trovare il punto di intersezione tra due rette nel piano cartesiano (m,q); per questo il sistema si dice lineare (interessante: il problema del passaggio di una retta per due punti si è dimostrato essere equivalente al problema dell’intersezione tra due rette). In generale un sistema di due equazioni di primo grado ammette un’unica soluzione o infinite oppure nessuna.

Possiamo dimostrare che nel nostro caso la soluzione c’è ed è unica? Direi di si….se x1 è diverso da x2, sottraendo le due equazioni otteniamo:

Avendo trovato m, possiamo calcolare q a partire per esempio dalla prima delle due equazioni:

Ovvio, no? Notiamo però che l’espressione che abbiamo ottenuto per m ha significato (è un numero reale) se x1 è diverso da x2. Ma perché abbiamo dovuto supporre che sia x1 diverso da x2 per trovare la soluzione? Se le ascisse sono uguali, nella spazio dei parametri (m, q) le equazioni descrivono due rette parallele, perché con lo stesso coefficiente angolare x1=x2 (attenzione: non confonderti, le variabili del problema sono m e q, non x  e y). Ma due rette parallele non si intersecano in alcun punto! Abbiamo forse dimostrato che per due punti con la stessa ascissa non passa una retta? Per aggiungere interesse a questo post non dico nulla…meditate, la risposta è semplice.

Nel caso di una retta per due punti, abbiamo avuto a che fare con un sistema lineare di due equazioni in due variabili (m e q), nel caso di una parabola abbiamo a che fare con  un sistema di tre equazioni in tre variabili. Di solito sono chiamate a, b, c (vi ricorda qualcosa?). Quindi, salvo eccezioni, per tre punti passa una e una sola parabola e per quattro punti una e una sola …

Recentemente ho seguito un tutorial on-line sull’analisi dati con MATLAB. Ebbene, lo speaker annunciava con orgoglio che i suoi tre punti fittavano molto bene con una parabola! Un fatto davvero sorprendente…

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