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Posts Tagged ‘equazione della retta’

E’ facile intuire che per due punti A e B del piano passa una e una sola retta:


Per dimostrarlo in maniera semplice ci viene in aiuto la geometria analitica. L’equazione di una retta in forma esplicita è:

Se imponiamo il passaggio per due punti del piano cartesiano di coordinate (x1, y1) e (x2, y2) otteniamo il sistema di due equazioni nelle variabili m e q:

Notiamo che il nostro problema consiste nel trovare il punto di intersezione tra due rette nel piano cartesiano (m,q); per questo il sistema si dice lineare (interessante: il problema del passaggio di una retta per due punti si è dimostrato essere equivalente al problema dell’intersezione tra due rette). In generale un sistema di due equazioni di primo grado ammette un’unica soluzione o infinite oppure nessuna.

Possiamo dimostrare che nel nostro caso la soluzione c’è ed è unica? Direi di si….se x1 è diverso da x2, sottraendo le due equazioni otteniamo:

Avendo trovato m, possiamo calcolare q a partire per esempio dalla prima delle due equazioni:

Ovvio, no? Notiamo però che l’espressione che abbiamo ottenuto per m ha significato (è un numero reale) se x1 è diverso da x2. Ma perché abbiamo dovuto supporre che sia x1 diverso da x2 per trovare la soluzione? Se le ascisse sono uguali, nella spazio dei parametri (m, q) le equazioni descrivono due rette parallele, perché con lo stesso coefficiente angolare x1=x2 (attenzione: non confonderti, le variabili del problema sono m e q, non x  e y). Ma due rette parallele non si intersecano in alcun punto! Abbiamo forse dimostrato che per due punti con la stessa ascissa non passa una retta? Per aggiungere interesse a questo post non dico nulla…meditate, la risposta è semplice.

Nel caso di una retta per due punti, abbiamo avuto a che fare con un sistema lineare di due equazioni in due variabili (m e q), nel caso di una parabola abbiamo a che fare con  un sistema di tre equazioni in tre variabili. Di solito sono chiamate a, b, c (vi ricorda qualcosa?). Quindi, salvo eccezioni, per tre punti passa una e una sola parabola e per quattro punti una e una sola …

Recentemente ho seguito un tutorial on-line sull’analisi dati con MATLAB. Ebbene, lo speaker annunciava con orgoglio che i suoi tre punti fittavano molto bene con una parabola! Un fatto davvero sorprendente…

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